一、概率與統計
1、概率；這里用道題來說明這個數學問題（用WORD把這些煩瑣的公式打出來太麻煩了，因為公司不重視品質管理，所以部門連個文員MM都沒有，最后我只好使用CORELDRAW做的公式粘貼過來，如果你的電腦系統比較慢，需要耐心等待一會公式才會顯示來，不過別著急，好東西往往是最后才出來的嘛！）。
題一、從含有D個不良品的N個產品中隨機取出n個產品（做不放回抽樣），求取出d個不良品的概率是多少？
解：典型的超幾何分布例題，計算公式如下（不要煩人的問我為什么是這樣的公式計算，我雖然理解了一些，解釋起來非常麻煩，別怪我不夠意思，是你自己上學的時候只顧早戀，沒有學習造成的，罵自己吧！）：
超幾何分布：（最基本的了）：
最精確的計算，適用比較小的數據
其中： N —— 產品批量 D —— N中的不合格數
d —— n中的合格數 n —— 抽樣數
另外的概率計算的常用算法還有：
二項分布：（最常用的了，是超幾何分布的極限形式。用于具備計件值特征的質量分布研究）：
只是估算，當N≥10n后才比較準確
其中： n —— 樣本大小 d —— n中的不合格數
ρ—— 產品不合格率
泊松分布：（電子產品的使用還沒有使用過，只是在學習的時候玩過一些題目，我也使用沒有經驗）
具有計點計算特征的質量特性值
其中： λ—— n ρ n —— 樣本的大小
ρ—— 單位不合格率(缺陷率) e = 2.718281
2、分布；各種隨機情況，常見的分布有：二項分布、正態分布、泊松分布等，分位數的意義和用法也需要掌握；較典型的題目為：
題三、要求電阻器的值為80+/-4歐姆；從某次生產中隨機抽樣發現：電阻器的阻值服從正態分布，其均值80.8歐姆、標準差1.3歐姆，求此次生產中不合格品率。
公式好麻煩的，而且還要查表計算，555555555555，我懶得寫了，反正我也沒有做過電阻。
3、置信區間：我們根據取得樣品的參數計算出產品相應的參數，這個“計算值”到底跟產品的“真實值”有什么關系？一般這樣去描述這兩個量：把“計算值”擴充成“計算區間”、然后描述“真實值有多大的可能會落在這個計算區間里”，從統計學上看，就是“估計參數”的“置信區間”；較典型的題目為：
題四、設某物理量服從正態分布，從中取出四個量，測量/計算后求得四個量的平均值為8.34，四個量的標準差為0.03；求平均值在95%的置信區間。
解：因為只知道此物理量服從正態分布，不知道這個正態分布對應的標準差，所以只能用樣品的標準差來代替原物理量的標準差。這時，樣品的平均值的分布就服從t分布。4個樣品、95%的置信區間，對應的t0.975(3)＝3.182；所以平均值的置信區間為：
8.34±3.182×（0.03/2）=[8.292,8.388]
這說明，此物理量的總體平均值有95%的可能落在8.292和8.388之間。
二、可靠性常用的分布
1、指數分布；第一章里提到浴盒曲線對應的指數分布為F(t)＝1-e-t；如何得到這一分布？
設產品在t時間內總的失效率F(t)，則：
在t時刻產品的存活率R(t)=1-F(t)；
在t時刻的失效為t時間內的失效率的導數、即f(t)=F’(t)；
在t時刻的失效率為t時刻的失效比t時刻的存活率、即f(t)/R(t)。
根據浴盆曲線，當產品在穩定失效階段時任意時刻的失效率為λ。
綜上，即得到等式：λ＝f(t)/R(t)=F’(t)/(1-F(t))；
解此微分方程得到一個特解：F(t)＝1－e-t；
所以R(t)=e-t，這就是指數分布；
2、威布爾分布；與指數分布相比，只是變量λ不一樣。威布爾分布的F(t)=1-e^(-t/a)^b；當b＝1時，F(t)=1-e^(-t/a)，這也就是指數分布；我們威布爾分布來看看其它參數：
R(t)＝1-F(t)=e^(-t/a)^b；
f(t)＝F`(t)=(b/t)*(t/a)^b*e^(-t/a)^b；
失效率＝f(t)/R(t)＝(b/t)*(t/a)^b；
3、對數正態分布；顧名思義，說明產品在t時間內的失效率與t服從對數正態分布，也就是說F(t)與ln(t)成正態分布。標準表達式為：F(t)=Φ((lnt-ln(T50))/δ)；
根據各種分布，都可以方便地求出產品MTBF。
要求出產品的MTBF就必須找到樣品的失效時間，這樣我們必須取出一定的樣品做特定的測試、記錄樣品的失效時間，然后計算產品的MTBF。在開始計算MTBF之前，我們先插述各種測試的篩選強度，也就是此種測試能發現樣品存在缺陷的可能性。
三、篩選強度
在進行環境應力篩選設計時，要對所設計的方案進行強度計算。這樣才能更有效的析出產品缺陷。在典型篩選應力選擇時，一般恒定高溫篩選用于元器件級，溫度循環用于板級以上產品；溫度循環的篩選強度明顯高于恒定高溫篩選。下面介紹一些篩選強度（SS）的數學模型。
1、恒定高溫篩選強度
SS=1-exp [-0.0017(R+0.6)0.6t]
式中：R—高溫與室溫(一般取25℃)的差值；t—恒定高溫持續時間(h)；例：用85℃對某一元器件進行48H的篩選，則其篩選強度為:44.5% =1- EXP(-0.0017*((85+0.6)^0.6)*48)；
2、溫度循環的篩選強度
SS=1-exp{-0.0017(R+0.6)0.6[Ln(e+v)]3N}
式中：R—溫度循環的變化范圍（℃）；V—溫變率（℃/min）；N—溫度循環次數；例：用60℃到－40℃以10℃/min的速率做15次循環（每個循環20min，15個共計5H）則對應的篩選強度為：99.87%=1-EXP(-0.0017*((100+0.6)^0.6)*((ln(2.718+10))^3)*15)；
3、隨機振動的篩選強度
SS=1-exp{-0.0046(Grms)1.71·t}
式中：t—為振動時間（min）；Grms---單位G； （這個地方我也沒有找到資料）。
四、MTBF的計算
1、基本MTBF的測試
在實際工作過程中，很多時候并不需要精確在知道某個產品的MTBF，只需要知道是否可以接受此產品。這時，只需要對產品進行摸擬運行測試，當產品通過了測試時，就認為產品達到了要求的MTBF，可以接受此產品。
如何確定產品應該進行什么樣的測試，也就是我們應該用多少樣品進行多長時間的測試？根據MTBF（平均失效間隔時間）的定義，從“平均”這一個看來，失效的次數越多計算值就越能代表“平均值”，當然失效的次數越多對應的總測試時間也就越長；一般情況下要求：只要測試時間允許，失效的次數就應該取到盡可能地多。
下面用一個例子來說明測試條件的確定方法。
題五：某種產品，要求在90%的信心度下MTBF為2000H，如何判定此產品的可靠性是否達到了規定的要求？
可以轉化為判定此產品是否能通過規定時間的模擬運行測試，其關鍵是要找出測試時間；測試時間＝A×MTBF，A這個因子與“在這段時間內允許失效的次數”和“90%的信心度”有關系。根據已經成熟的體系，直接代用公式：
A＝0.5*X2（1-a，2(r+1)）
X2（1-a，2(r+1)）是自由度為2(r+1)的X平方分布的1-a的分位數；
a 是要求的信心度，為90%； r 是允許的失效數，由你自己決定；
此分布值可以通過EXCEL來計算，在EXCEL中對應的函數為CHIINV；
如允許失效1次時，A=0.5*CHIINV(1-0.9,2*2)=0.5*CHIINV(0.1,4)＝0.5*7.78＝3.89；所以應該測試的時間為：3.89×2000＝7780H。也就是當設備運行7780H是只出現一次失效就認為此產品達到了要求的可靠性。
7780H是324天（7780/24＝324），快一年了，做一次測試花一年的時間？太長！我們可用這樣去調整：①增加測試的總樣品數；7780從統計上看，準確地說是7780臺時、它是“機臺×時間”這樣一個量，也就是所有樣機的測試時間總和；如果測試中有50臺樣機，則只需要測試155.6H；如果有100臺樣機，則只需要測試到77.8H（強烈建議在MTBF的測試中采用盡可能多的樣品數）；②減少允許失效的次數；允許失效的次數為0時，同上計算后得到測試時間為4605臺時（一般不建議采用此種方式來縮短測試時間，這樣會增大測試的誤差率）。
對于價格較低、數量較多的產品（如各種元器件、各種家用電器等），用上面介紹的方法，可以很方便地進行測試；但當產品的價格較高、MTBF較高的產品如何測試？
題六：某種產品，要求在90%的信心度下MTBF為20000H，因單價較貴，只能提供10臺左右的產品做測試，請問如何判定此產品的可靠性是否達到規定的要求？
還是轉化為測試。即使有10臺產品全部用于測試，20000H的MTBF也需要測2000H左右，這個時間太長，應該怎么辦？
此時一般用到加速測試。對一般電子產品而言，多用高熱加速，有時也用高濕高濕加速。根據加速模型（Arrhenius Model），得知加速因子的表達式為：
AF=exp{(Ea/k)*[(1/Tu)-(1/Ts)]+ (RHu^n-RHs^n)}
Ea為激活能（eV）,k為玻爾茲曼常數且k=8.6*10E-5eV/K。T為絕對溫度、RH指相對濕度（單位％）、下標u指常態、下標s指加速狀態（如RHu^n指常態下相對濕度的n次方），一般情況下n取2。
Ea根據原材料的不同，有不同的取值，一般情況下：
氧化膜破壞 0.3Ev
離子性（SiO2中Na離子漂移） 1.0—1.4Ev
離子性（Si-SiO2界面的慢陷阱） 1.0eV
由于電遷移而斷線 0.6eV
鋁腐蝕 0.6—0.9eV
金屬間化合物生長 0.5—0.7eV
根據產品的特性，取Ea為0.6eV，則在75℃、85%RH下做測試1h，相當于在室溫（25℃、75%RH）的加速倍數為：
AF＝EXP(0.6*((1/298)-(1/348))*10^5/8.6+(0.85^2-0.75^2))＝34
若充許一次失效，在90%的置信度下，需要測試的時間為：Ttest=A*MTBF ，A的計算同上用EXCEL計算，即：A=0.5*CHIINV(1-0.9,2*2)=0.5*CHIINV(0.1,4)＝0.5*7.78＝3.89；
所以要求的室溫下的測試時間為：Tu=3.89*20000＝77800H；
換算后，在高溫下的測試時間為：Ta＝778000/AF＝2288Hrs；
最后，測試方案就是：將10臺設備在75℃、85%的下進行228.8Hrs的測試，如果失效次數小于或等于一次，就認為此產品的MTBF達到了要求。
還有一種情況就是，不知道Ea，公司內部以前沒有數據、行業也沒有推薦使用的具體值。此時就只能近似估計。具體方法如下：在三個高溫（t1,t2,t3, t1 實際工作中，沒有那么樣品，只能用最少的樣品數：9臺（每個溫度下各三臺）。具體做法是：
a.取三臺設備在高溫T下運行，觀察產品的失效情況。若產品較快失效，則取t1＝T，t2＝t1－15℃，(1/t3)-(1/t1)＝2((1/t2)-(1/t1))；若產品長時間沒有失效，則取t3＝T，t2=t3＋15℃，(1/t3)-(1/t1)＝2((1/t2)-(1/t1))。
b．根據三個溫度點對應的產品壽命時間，計算出此產品的Ea。
上面的方法對元器件都比較適用，對一些系統，可能就不太合適了。
2、基本MTBF的計算
因為MTBF是一個統計值，通過取樣、測試、計算后得到的值與真實值有一定的差異；而且具體到每個產品時，其失效間隔時間與MTBF又有一定的差異，又有置信度的概念，這樣您的計算值與客戶的要求高出一些（如多出1個數量級），就可以接受。如客戶要求產品的MTTF為20年，我們計算出來為100年，是可以接受的，如果計算出來剛好是20年，反而讓人覺得是不是用不到20年。如何計算產品的MTBF，這里給出兩個我用到的方法。
一個日本客戶要求我們的“光隔離器”（一種用在光路上的不可修復的元器件，只能讓光順行而不能逆行，相當于電路上的二極管）的產品壽命為20年，我們進行了如下動作。
第一步：找到計算公式；我們使用Bellcore推薦的計算公式：MTBF＝Ttot/( N*r)；
說明：N為失效數（當沒有產品失效時N取1）；r為對應的系數（取值與失效數與置信度有關）；
Ttot為總運行時間；
第二步：找到可靠性測試的數據；我們直接采用我們做過的“高溫高濕貯存”的結果：11個樣品在85%RH、85℃下貯存2000Hrs時沒有失效發生；
第三步：找到對應的激活能（Ea）；我們采用Bellcore推薦的Ea，為0.8eV；
第四步：計算在溫室下的運行時間；
①因為沒有樣品失效，所以N＝1；
②r取0.92（對應60%的置信度）或2.30（對應90%的置信度）；
③光隔離器在室溫下運行，相當于40℃/85%的貯存；
④Ea為0.8eV，計算得到從85℃/85%到40℃/85%的加速倍數為42；
⑤60%的置信度下，MTBF＝Ttot/(N*r)＝（11*2000*42）/(1*0.92),結果即為114年；
90%的置信度下，MTBF＝Ttot/(N*r)＝（11*2000*41.6）/(1*2.30),結果即為45年；
從上面的計算可以看出，此計算用到了兩個條件：進行了高溫高濕測試、產品對應的激活能取0.8，這兩個條件在Bellcore里、針對光隔離器的文件1221中有推薦使用。很多時候，因為測試時間太長（如1000H、5000H等）沒有進行、激活能難以確定用多少才合適，所以不可直接計算，需要進行一些相關的測試。
取9個樣品，分三組，分別在85℃、105℃、127℃下運行，運行過種中“在線監測”產品性能（雖然產品本身有很多參數要測試，在我們的測試中取最主要的參數IL監測，光通信業認為當產品的IL變化量超過0.5dB時就認為產品Fail）。實際測試中，產品在127℃下運行很快Fail，當產品在105℃下運行Fail，停止了測試，各種數據如下表：
從上表可以看出：
①在600H時，第二組樣品中2個出現Fail，測試停止；
②在127℃時，產品的壽命為400H，即（300＋500＋400）/ 3；
③在105℃時，產品的壽命為895.5H，即（800/0.4467）×0.5；
說明：產品在105℃下800H時，并沒有全部失效，不能像127℃那樣直接算出，只能用“線性外延”來計算，雖然不是很準確，但可以接受。因為800H時變化0.4467dB，所以變化量達0.5dB時總運行895.5H；
④同理在85℃時，產品的壽命為3870.2H；
⑤將Arrhenius 公式兩邊取自然對數得到：Ln(Life)＝（Ea/k）*(1/T)；T溫度下對應的Life滿足上述公式，把②③④三點中的溫度和壽命，按（X,Y）的形式，X =1/T、 Y =ln(life)，得到相應的三點（0.002793，8.26126）、（0.002646，6.797407）、（0.002498、5.991465）；
⑥將第⑤步中的三點在EXCEL中作圖，將對應的曲線用直線擬合、交顯示公式得到直線的斜率為7893.0；也就是(Ea/k)=7893.0，故Ea＝0.68eV；
⑦故產品在常溫25℃（對應的1/T=0.003356）時壽命為：（105℃時的壽命）×（105℃對25℃的加速倍數）；當(Ea/k)=7893.0時，105℃對25℃的加速倍數為272。
⑧故25℃時產品壽命為272*895.5/356/24＝27.8 （年）。
⑨故產品失效率為10E9/(272*895.5)=4103 FIT.
上面的計算過程有很多地方可以討論：
①第一種方法有很多優點：Ea的取值是Bellcore推薦的值（目前整個業界都不會疑問）、數據由11個樣品做同一種測試得到（比3個樣品更有說服力）、11個樣品沒有Fail（這說明實際值比計算出來的值還要大，更讓人信服）、考慮了置信度；
在第二種方法里：
②樣品數據較少，每組只有3個樣品，隨機性較大；
③中溫、低溫時產品沒有達到壽命時間，以平均值“外延”代替，誤差較大；
④取到三個點時，用直線擬合，帶來很多誤差；
⑤計算25℃度時的壽命，用“85℃時的壽命”與“加速倍數”相乘，而這兩個參數都有誤差；
但是，在什么都沒有（以前的測試數據沒有、激活能用多少也沒有）的情況下，用上面的計算也算是一種方法，可以用來回復客戶，一般客戶都不會“較真”。
最后介紹另一種計算方法。此方法是在常溫下運行產品，記錄每次故障發生的時間，然后套用壽命模型、選擇最好的一種來計算。（我沒有用過，只好將書上的例子Copy下來）。
在常溫下，對100個產品做測試，當出現10次故障時停止測試。10次故障的時間為：268、401、428、695、725、738、824、905、934、1006小時。求此產品的MTBF。
第一步：求F(t)，即產品的累積失效率（CDF）。這里用這樣的方法：
①第一次失效的F(1)=(1-0.3)/(100+0.4)＝0.006972；
②第二次失效的F(2)=(2-0.3)/(100+0.4)＝0.016932；
③第三次失效的F(3)=(3-0.3)/(100+0.4)＝0.026892；
其它類推（分子為：失效次數-0.3；分母為：樣品數+0.4）。
第二步：求Ln(1/(1-F(t))，即第一步求得的F(t)代入Ln(1/(1-F(t))計算出數據。如：
①第一次失效的Ln(1/(1-F(1))= Ln(1/(1-0.006972)＝0.006997；
②第二次失效的Ln(1/(1-F(1))= Ln(1/(1-0.016932)＝0.017077；
③第三次失效的Ln(1/(1-F(1))= Ln(1/(1-0.026892)＝0.027261；
其它類推；
第三步：套用公式。不同產品有不同的壽命分布模型，如正態分布、威布爾分布等等。
1、套用正態分布；
①根據正態分布公式1－F(t)＝EXP(-λt)，變換后得到：Ln(1/(1-F(t))＝λt；
②將第二步中求出的Ln(1/(1-F(t))作為y，將每個故障發生的時間t作為x，組成坐標點(x,y)，如(0.006997,268)、(0.017077,401)、(0.027261,428)等，將10個點以EXCEL作圖；
2、套用威布爾分布；
①由威布爾公式1－F(t)＝EXP(-（t/m）^n)，變換后得到：Log(ln(1/(1-F(t)))＝n*log(t)-n*log(m)；
②將第二步中求出的Ln(1/(1-F(t))作為Y，將每個故障發生的時間t作為X，取y=logY, x=logX,組成坐標點(x,y)，將10個點以EXCEL作圖；
3、套用其它分布；方法同上，先找出對應的公式，再變換，再作圖；
第四步：觀察與計算；查看第三步中作的圖。
①找出哪一個圖的10個點看起來最有線性關系，并選定“最直”的那一圖；
②將“最直”的那個圖用直線擬合，找出直線的斜率k、截距b；
③若是正態圖最直，則MTBF＝1/k；若是威布爾圖最直，則由k,b計算出m,n，MTBF＝m*Γ(1+1/n);
說明：1、此種方法可以較準確地計算出產品在常溫下的MTBF。
2、若常溫下產品MTBF很長，也可以用這種方法先計算85℃、105℃等高溫下的MTBF，再通過計算激活能后計算出常溫下產品的MTBF
